一张图看懂充分必要条件充要条件与必要条件口诀

充要条件是高中数学中最重要的数学概念之一，这个概念是逻辑学的重要内容，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具。同时也是学生学习数学概念的重要思维工具。数学学习离不开数学定义和定理（判定定理和性质定理）的学习，而判定定理的本质就是寻找结论成立的充分条件，性质定理就是寻找结论成立的必要条件，而给数学概念下定义的本质就是找寻结论成立的充要条件。
一、充分条件和必要条件的概念
要理解充分条件和必要条件的概念，我们从一个实际的例子开始，这是我们学习和理解数学概念的重要方法。看到一个抽象的数学概念，我们首先应该想到的不应该是抽象的数学表达，而是去举出足够多的例子，然后再把所举的例子抽象成数学语言，这样，抽象的数学概念就变得具体而可触摸了。
古语有云：“水至清则无鱼” 。在这里， “水至清”就是“无鱼”的充分条件，因为你让水“至清” ，鱼就死了，但我们要让鱼死，还有很多方法。不给它吃的，可以饿死它；给它吃毒药，可以毒死它……等等，大家可以想想还有些什么方法。
回到刚才的问题，我们研究的是“无鱼”这个结果，所以有了很多的方法，“水至清”是其中的一种方法，它可以导致“无鱼”，因此是达到目的的一个充分不必要条件。但我们如果研究的是“水至清”这个结果，那么“无鱼”是它的一个必要不充分条件，因为如果有鱼，说明水没有“至清” ， “无鱼”不一定是因为“水至清” ， “无鱼”还可能是因为水被严重污染了。再比如：手机没电了，就不能开机。“手机没电”就是“手机不能开机”的充分条件， “手机不能开机”就是“没电”的必要条件，因为“能开机”，手机是一定有电的。这样的例子非常多，我们可以一直的举下去，你能举出的例子越多，就越有助于你理解这个概念，但最后一定要抽象成数学概念，用数学的语言表达出来。
课本上是这样定义充分条件和必要条件的。

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在这个概念中，我们要注意以下两点：
（1）认清研究的对象（主元）是p还是q，即研究的是谁的充分条件和必要条件，也就是上面加红的部分。这是解决关于充要条件的题目的第一个步骤，在解题时很多同学会把充分和必要给弄反，其根源就在与没有去关心研究的是谁的充分性和必要性，只是去关心“前与后”，他们机械的认为，前推出后是充分，后推出前是必要，须知前与后是相对的。比如“x>1的充分条件是x>2”这里得出的就是后推出前，因为研究对象是“x>1” 。
（2）必要条件的意义是：“p能推出q，说明如果q不成立，那么p一定不成，所以，q对p而言是必要的，因此q是p的必要条件。”必要条件指的是研究的对象（这里是p）可以推出什么，什么就是它的必要条件。
一般地，

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在上面的定义中，研究对象都是q，因此，我们在处理充要条件的问题中，可以统一的把研究对象标示为q ，这样，谁推出q ，谁就是q的充分条件，因此找出q的一个充分条件就得到q的一个判定定理；q推出谁，谁就是q的必要条件，因此找出q的一个必要条件就得到q的一个性质定理；同样的，找出q的一个充要条件就得到q的一个定义方式。
这三个概念，我们还可以用以下的电路图来理解：

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充分条件

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必要条件

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充要条件
二、充要条件的集合解释。
先看一个图形：

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从这里我们可以得出一个结论：小范围?大范围，但大范围?小范围。
看一个数学的例子：x>1可以推出x>0，但x>0不可以推出x>1，因此x>1是x>0的充分不必要条件。
需要注意的是这里的大与?。?是范围的大与小，即将其看成一个集合后，集合所包含的元素的多少，元素多就说明大，元素少就说明小。不是数的大小，否则上面例子中，1>0，但集合{x|x>1}比集合{x|x>0}小。
【一张图看懂充分必要条件充要条件与必要条件口诀】一般地，我们有下面的结论：

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三、题型示例
【题型一】充分条件与必要条件的判断

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因此在说明不成立时，都要尝试去举出反例，不论那个结果是多么的显而易见。举例子是高中生非常重要的一种能力，它可以让你把抽象的东西变得具体。

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因此我们希望学生养成举例子的习惯，先通过分析元素的多少做出初步判断，再通过求出集合确认答案。这样一来可以减少出错的机会，二来可以培养学生的“数感” 。

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这种题型的解题步骤是：
（1）“认清q”，最好在题目中标示出来。
（2）“少推多”，先由范围的大小做出初步判断，再通过计算做出准确判断。
【题型二】充分条件与必要条件的应用

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本题与【例1】的区别在于充分不必要与充分条件的区别，由于充分条件包括充分不必要条件和充要条件两种情况，而充要条件表示p与q等价，处理起来更简单，在这里即为两集合相等，因此我们只要思考两集合什么时候相等即可。

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把这道题的方法归纳起来就是：对于“若p是q的充分不必要条件，求字母的取值范围”这样的问题，先处理问题1：“若p是q的充分条件，求字母的取值范围。”；然后再考虑问题2：“若p是q的充要条件，求字母的值。”问题2一般来说很简单，得出结果后，在问题1求出的范围中去掉问题2得到的值即可。但由于问题2很多时候是无解的，我们可以先判断问题2的解是否存在，如果不存在，问题1的答案就是我们要的答案。
类似的，在处理真子集问题时，我们也可以采用同样的方法。

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在处理充分条件和必要条件的问题中，一定要注意“充分条件和必要条件（“是”，“的”）结构对比。看下面两道题：

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这两种题型本质上没什么区别，重点其实是在认清q 。题目1的q在后，题目2的q在前。
【题型三】充要条件的证明

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这是一个“的”型结构的问题， q在前面。

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这样就证明完了充分性，这里我们要学习一种证明等式成立的基本方法，即“要证A=B，只需证明A-B=0” 。下面证明必要性，这里要证明a=b=c，实际上是证明三个等式（a=b,b=c,c=a），如何从一个等式得到三个等式是思考的重点，所以我们想到一个重要的结论：几个非负数的和为零，那么每一个非负数都是零。从而构造出三个非负数的和的形式，于是就有了下面的方法：

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这是一个“是”型结构问题，q在后面。

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这道题当然还可以通过直接把

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因式分解来处理。
四、一个有争议的问题
先看下面这道题（题目与答案均来自于《高中同步测控优化设计数学必修第一册》）：

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由于空集是任意非空集合的真子集，这个答案粗看似乎没什么问题，但我们把m=0代入原题，就得到如下结论：

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如果这个结论是对的，我们也就一定可以得到

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这显然是不合适的。所以我认为，在这里q对应的集合是不可以为空集的。这样的例子在很多教辅书上都有，答案基本也是包括空集的情形的。

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写在最后
通过充分条件和必要条件的学习，我们需要去思考和体验这个知识背后存在的数学价值。
在观察现象、认识事物或处理问题时，“数学的方式”是与众不同的。
首先，我们的目标取向是：“追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法”，而研究的起点是对具体事物（举例子，与学过的知识类比和联系等）进行数学抽象。
其次，数学的思考结构具有系统性、普适性，其基本套路是“具体的事物——抽象的数学对象——探索数学性质——构建知识体系” 。
再次，数学的思维方式具有结构性、一致性、连贯性，包括：观察、分析、对比具体事物；抽象化；应用数学符号；建立数学模型；分析、推理、运算；改进、推广；更深入的洞察内在联系；在更大的范围内进行概括；建立更一般的统一的理论等。这是一套严谨的、行之有效的科学方法，是在获得数学知识体系中必须使用的思维方式。
最后，数学的表达方式具有统一性，是用一套全世界通用的符号形式在进行交流。
数学的思考结构、思维方式和符号化表达正是数学的力量所在，它逻辑性强，简明而准确，具有四两拨千斤的功效。

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