n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式 _知识分享

斯特灵公式(Stirling\'s formula)是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特灵公式十分好用；而且，即使在n很小的时候，斯特灵公式的取值已经十分准确。
公式为：
【n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式】

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这就是说，对于足够大的整数n，这两个数互为近似值。更加精确地：

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这个公式，以及误差的估计，可以推导如下。首先不直接估计n!，而是考虑它的自然对数：即:

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这个方程的右面是如下积分的近似值（利用梯形法则）

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而它的误差由欧拉-麦克劳林公式给出：

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其中Bk是伯努利数，Rm,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项。取极限，可得：

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把这个极限记为y 。由于欧拉-麦克劳林公式中的余项Rm,n满足：

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其中用到了大O符号，与以上的方程结合，便得出对数形式的近似公式：

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两边取指数，并选择任何正整数m，便得到了一个含有未知数e^y的公式。当m=1时，公式为：

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将上述表达式代入沃利斯乘积公式，并令n趋于无穷，便可以得出e^y=√2π,因此，我们便得出斯特灵公式：

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这个公式也可以反复使用分部积分法来得出，首项可以通过最速下降法得到。把以下的和

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用积分近似代替，可以得出不含√2πn的因子的斯特灵公式（这个因子通常在实际应用中无关）：

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斯特灵公式实际上是以下级数（现在称为斯特灵级数）的第一个近似值：

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阶乘的对数的渐近展开式也称为斯特灵级数：

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